Question

已知函数f₁（x）为正比例函数，f₂（x）为反比例函数，点P（1，2）为它们的交点．
（1）求f₁（x）、f₂（x）的解析式；
（2）若g（x）=f₁（x）-f₂（x），当x∈[2，3]时求g（x）的最值；
（3）若h（x）=f₁（x）+f₂（x），当x∈[2，3]时求h（x）的最值．

Answer 1

分析：（1）根据函数类型设出函数的解析式，然后根据点P（1，2）为它们的交点，则交点适合方程，从而求出所求；
（2）根据x∈[2，3]时，2x为增函数，

2

x

为减函数可知g（x）=2x-

2

x

在[2，3]上单调性，从而求出函数的最值；
（3）先判定函数h（x）在[2，3]上的导数符号，从而求出函数在[2，3]上的单调性，即可求出所求．

解答：解（1）∵函数f₁（x）为正比例函数，f₂（x）为反比例函数，
∴设f₁（x）=mx，f₂（x）=

n

x

而点P（1，2）为它们的交点
∴f₁（1）=m=2，f₂（1）=n=2
则.f1(x)=2x、f2(x)=

2

x

------------------------------------（4分）；
（2）g（x）=f₁（x）-f₂（x）=2x-

2

x

x∈[2，3]时，2x为增函数，

2

x

为减函数
∴g（x）=f₁（x）-f₂（x）=2x-

2

x

在[2，3]上单调递增
∴g（x）的最小值为g（2）=3，最大值为g（3）=

16

3

--------------------------------------（8分）
（3）若h（x）=f₁（x）+f₂（x）=2x+

2

x

h'（x）=2-

2

x2

，当x∈[2，3]时h'（x）＞0
∴h（x）在[2，3]上单调递增
∴h（x）的最小值为h（2）=5，最大值为h（3）=

20

3

------------------------（12分）

点评：本题主要考查了函数单调性的判断与证明，以及函数解析式和值域，属于中档题．