Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，且a_n=a_n-1+（）ⁿ（n≥2），且n∈N^*），则数列{a_n}中项的最大值为________．

Answer 1

1
分析：把给出的数列递推式a_n=a_n-1+（）ⁿ变形后得到新数列{3ⁿa_n}，该数列是以3为首项，以1为公比的等比数列，求出其通项公式后，进一步求出数列{a_n}的通项公式，结合数列的函数特性分析出其单调性，从而求出数列{a_n}中项的最大值．
解答：由a_n=a_n-1+（）ⁿ（n≥2），
得：（n≥2），
即（n≥2），
所以，{3ⁿa_n}构成以3a₁=3为首项，以1为公差的等差数列．
则3ⁿa_n=3+（n-1）×1=n+2，
所以，．
令，则=，
当x∈（0，+∞）时，f^′（x）＜0，所以f（x）在（0，+∞）上为减函数，
所以，在n=1时有最大值，最大值．
则数列{a_n}中项的最大值为1．
故答案为1．
点评：本题考查了由数列的递推式求数列的通项公式，考查了构造新数列的方法，考查了数列的函数特性，训练了由导函数判断函数的单调性，此题是中档题．