题目内容

已知函数 $数学公式$ （a∈R）．
（1）若a=3，试确定函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）在其图象上任意一点（x₀，f（x₀））处切线的斜率都小于2a²，求实数a的取值范围．
（3）若?x∈[0，2]，f（x）＜0，求a的取值范围．

解：（1）∵函数 $\text{[math]}$ （a∈R），∴f^′（x）=-x²+2x+a．
当a=3时，f^′（x）=-x²+2x+3=-（x+1）（x-3）．
当x∈（-∞，-1）或（3，+∞）时，f^′（x）＜0；当x∈（-1，3）时，f^′（x）＞0．
∴函数f（x）在区间（-∞，-1）或（3，+∞）上单调递减；在区间（-1，3）上单调递增．
（2）∵f^′（x）=-x²+2x+a，∴函数f（x）在其图象上任意一点（x₀，f（x₀））处切线的斜率为 $\text{[math]}$ ，
由题意可知：对任意的实数x₀， $\text{[math]}$ 恒成立．
即 $\text{[math]}$ 对任意实数x₀恒成立? $\text{[math]}$ ，x∈R．
令φ（x₀）= $\text{[math]}$ ，则φ（x₀）= $\text{[math]}$ ≤1，∴ $\text{[math]}$ =1．
∴2a²-a＞1，
解得a＞1，或a＜ $\text{[math]}$ ．
∴a的取值范围是（-∞， $\text{[math]}$ ）∪（1，+∞）．
（3）①当x=0时，f（0）=0，∵0＜0不可能，此时不存在a满足要求；
②当x∈（0，2]时，若?x∈（0，2]，f（x）＜0，??x∈（0，2]， $\text{[math]}$ ．
∵φ（x）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，∴φ（x）在区间（0， $\text{[math]}$ ）单调递减，在区间 $\text{[math]}$ 单调递增，但是φ（0）=0＞φ（2），故φ（x）在区间（0，2]上无最大值．
经验证a=0 时适合题意．
∴a≤0．
分析：（1）先求导，看其f^′（x）在某区间上是大于0、还是小于0．即可判断出单调区间．
（2）已知问题? $\text{[math]}$ 对任意实数x₀恒成立? $\text{[math]}$ ，x∈R．解出即可．
（3）对x分x=0 与x∈（0，2]讨论，对x∈（0，2]可转化为：当x∈（0，2]时，若?x∈（0，2]，f（x）＜0，??x∈（0，2]， $\text{[math]}$ ．求出即可．
点评：本题综合考查了利用导数求单调区间、恒成立即存在性问题，转化思想是解决问题的关键．