Question

已知命题p：“?x∈[1，2]，x²-a+k≥0”，命题q：“?x₀∈R，x₀²+2ax₀+2-a=0”，
（1）若当k=0时，命题p和q都是真命题，求实数a的取值范围；
（2）若“命题q为真命题”是“命题p为假命题”的必要不充分条件，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：求出p为真，a的范围，q为真，a的范围；
（1）当k=0时，命题p和q都是真命题，求出实数a的交集，即可；
（2）“命题q为真命题”是“命题p为假命题”的必要不充分条件，列出关系式，即可求实数k的取值范围．

解答：解：若p为真，则△≥0，得a≤-2或a≥1
若q为真，则令x²-a+k≥0在[1，2]上恒成立，因为f（x）=x²-a+k在[1，2]上单调递增，
即，f（x）_min=f（1）=1-a+k≥0所以a≤1+k
（1）k=0，p和q均为真，则得实数a的取值范围是a≤-2或a=1
（2）p为假命题，a＞1+k
由于q为真命题是p为假命题的必要不充分条件，所以1≤1+k所以k≥0

点评：本题考查充要条件的应用，特称命题与全称命题的关系，考查基本知识的应用．