Question

设a∈R，函数f（x）=3x³-4x+a+1．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若对于任意x∈[-2，0]，不等式f（x）≤0恒成立，求a的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）解：f（x）的导数f′（x）=9x²-4．
令f′（x）＞0，解得，或；
令f′（x）＜0，解得．
从而f（x）的单调递增区间为，；
单调递减区间为（-，）
（Ⅱ）解：由f（x）≤0，得-a≥3x³-4x+1
由（Ⅰ）得，函数y=3x³-4x+1在（-2，）内单调递增，
在（-，0）内单调递减，
从而当x=-时，函数y=3x³-4x+1取得最大值
因为对于任意x∈[-2，0]，不等式f（x）≤0恒成立，
故-a≥，即a≤-，
从而a的最大值是-
分析：（I）先求出函数f（x）的导函数fˊ（x），然后解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，即可求出函数f（x）的单调区间；
（II）根据对于任意x∈[-2，0]，不等式f（x）≤0恒成立，将a分离出来，然后研究另一侧函数的最值即可求出a的最值．
点评：本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减，以及函数恒成立问题，同时考查了转化与划归的数学思想，属于中档题．