Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=4，点D为AB的中点．
（Ⅰ）求证AC⊥BC₁；
（Ⅱ）求证AC₁∥平面CDB₁；
（Ⅲ）求异面直线AC₁与B₁C所成角的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：解法一：（1）：利用勾股定理的逆定理判断出AC⊥BC，同时因为三棱柱为直三棱柱，从而证出．
（2）：因为D为AB的中点，连接C₁B和CB₁交点为E，连接DE，∵D是AB的中点，E是BC₁的中点，根据三角形中位线定理得DE∥AC₁，得到AC₁∥平面CDB₁；第三问：因为AC₁∥DE，所以∠CED为AC₁与B₁C所成的角，求出此角即可．
解法二：利用空间向量法．如图建立坐标系，
（1）：证得向量点积为零即得垂直．
（2）：=λ，与两个向量或者共线或者平行可得．第三问：
解答：证明：（Ⅰ）直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，底面三边长AC=3，BC=4，AB=5，
∴AC⊥BC，且BC₁在平面ABC内的射影为BC，∴AC⊥BC₁；
（Ⅱ）设CB₁与C₁B的交点为E，连接DE，
∵D是AB的中点，E是BC₁的中点，
∴DE∥AC₁，
∵DE?平面CDB₁，AC₁?平面CDB₁，
∴AC₁∥平面CDB₁；
（Ⅲ）∵DE∥AC₁，∴∠CED为AC₁与B₁C所成的角，
在△CED中，ED=AC₁=，CD=AB=，CE=CB₁=2，
∴cos∠CED==，
∴异面直线AC₁与B₁C所成角的余弦值．

解法二：
∵直三棱锥ABC-A₁B₁C₁底面三边长AC=3，BC=4，AB=5，AC，BC，CC₁两两垂直．
如图建立坐标系，则C（0，0，0），A（3，0，0），C₁（0，0，4），B（0，4，0），B₁（0，4，4），D（，2，0）（Ⅰ）∵=（-3，0，0），=（0，4，4），
∴•=0，
∴⊥．
（Ⅱ）设CB₁与C₁B的交点为E，则E（0，2，2）
∵=（-，0，2），=（-3，0，4），
∴=，∴∥
∵DE?平面CDB₁，AC₁?平面CDB₁，∴AC₁∥平面CDB₁．
（Ⅲ）∵=（-3，0，0），=（0，4，4），
∴cos＜，＞==，
∴异面直线AC₁与B₁C所成角的余弦值为．
点评：本题考查向量的几何意义a•b=|a||b|cosα；向量垂直?a•b=0；直线与平面的证明方法．