Question

已知函数f(x)=

0 (x≤a) ( x-a a-b )2 (a＜x＜b) 1 (x≥b)

（Ⅰ）证明：对任意x≥

a+b

2

，都有f（x）≥

1

4

；
（Ⅱ）是否存在实数c，使f（c）≥

a+b

2

？若存在，求出c的取值范围M若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（I）先考查二次函数y=(

x-a

a-b

)  2，它在区间[

a+b

2

，+∞）上是增函数，得出对任意b＞x≥

a+b

2

，都有f（x）≥

1

4

；
另一方面，当x≥b时，f（x）≥

1

4

从而得出结论，
（II）先假设存在实数c，使f（c）≥

a+b

2

，先取f（c）=

a+b

2

，求出c的值，再结合二次函数数y=(

x-a

a-b

)  2在区间（a，+∞）上的单调性即可得到：存在c的取值范围M=[a+

a+b 2

(b-a)，+∞），使f（c）≥

a+b

2

成立．

解答：解：（I）对任意x≥

a+b

2

，考察二次函数y=(

x-a

a-b

)  2，
它在区间[

a+b

2

，+∞）上是增函数，
且当x=

a+b

2

时，f（

a+b

2

）=

1

4

，
∴对任意b＞x≥

a+b

2

，都有f（x）≥

1

4

；
另一方面，当x≥b时，f（x）=1≥

1

4

．
∴对任意x≥

a+b

2

，都有f（x）≥

1

4

；
（II）若存在实数c，使f（c）≥

a+b

2

先取f（c）=

a+b

2

，且c∈（a，b）
解之得：c=a+

a+b 2

(b-a)，
而二次函数数y=(

x-a

a-b

)  2在区间（a，+∞）上是增函数，
所以当c≥a+

a+b 2

(b-a)时，f（c）≥

a+b

2

成立
此时出c的取值范围为M=[a+

a+b 2

(b-a)，+∞）
所以存在c的取值范围M，使f（c）≥

a+b

2

成立．

点评：本题考查了函数的值域和函数最值的应用，属于难题．抓住函数分段的解析式，再结合函数的图象，利用函数的单调性，是解决本题的关键．