题目内容
已知：a，b，c，d∈R．（Ⅰ）求证：（ac-bd））2≥（a2-b2）（c2-d2）
（Ⅱ）若点P（
）在直线ax-by-2=0上，求证：a2-b2≤4．
【答案】分析：（Ⅰ）先根据（ad-bc）2≥0，得到a2d2-2abcd+b2c2≥0，即可得到a2c2+b2d2-2abcd≥a2c2-a2d2-b2c2+b2d2，整理即可得到结论；
（Ⅱ）先根据点P（
）在直线ax-by-2=0上，得到a
-btanα-2=0，即a
-btanα=2；再结合上一问的结论即可得证．
解答：证明：（Ⅰ）因为（ad-bc）2≥0，
所以a2d2-2abcd+b2c2≥0，
所以a2c2+b2d2-2abcd≥a2c2-a2d2-b2c2+b2d2，
所以（ac-bd）2≥（a2-b2）（c2-d2）．
（Ⅱ）因为点P（
）在直线ax-by-2=0上，
所以a
-btanα-2=0，
可得：a
-btanα=2．
由（Ⅰ）可知，
（a2-b2）[
]=a2-b2．
所以a2-b2≤4．
点评：本题主要考查不等式的证明．解决问题的关键是根据（ad-bc）2≥0，得到a2d2-2abcd+b2c2≥0，进而得到a2c2+b2d2-2abcd≥a2c2-a2d2-b2c2+b2d2．
（Ⅱ）先根据点P（
）在直线ax-by-2=0上，得到a
-btanα-2=0，即a
-btanα=2；再结合上一问的结论即可得证．解答：证明：（Ⅰ）因为（ad-bc）2≥0，
所以a2d2-2abcd+b2c2≥0，
所以a2c2+b2d2-2abcd≥a2c2-a2d2-b2c2+b2d2，
所以（ac-bd）2≥（a2-b2）（c2-d2）．
（Ⅱ）因为点P（
）在直线ax-by-2=0上，所以a
-btanα-2=0，可得：a
-btanα=2．由（Ⅰ）可知，
（a2-b2）[
]=a2-b2．所以a2-b2≤4．
点评：本题主要考查不等式的证明．解决问题的关键是根据（ad-bc）2≥0，得到a2d2-2abcd+b2c2≥0，进而得到a2c2+b2d2-2abcd≥a2c2-a2d2-b2c2+b2d2．
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