Question

已知函数f(x)=-x³+m，其中m为常数.

(1)证明函数f(x)在R上是减函数；

(2)当函数f(x)是奇函数时，求实数m的值.

Answer 1

思路分析：(1)利用定义法证明单调性；(2)根据函数的奇偶性的性质求实数m的值.

(1)证明：设x₁＜x₂，则

f(x₁)-f(x₂)=(-x₁³+m)-(-x₂³+m)=x₂³-x₁³=(x₂-x₁)(x₂²+x₂x₁+x₁²)

=(x₂-x₁)［(x₂+)²+］.

∵x₁＜x₂，∴x₂-x₁＞0，(x₂+)²+＞0.

∴f(x₁)＞f(x₂).

∴函数f(x)在R上是减函数.

(2)解：∵函数f(x)是奇函数，∴f(-x)=-f(x).

∴对任意x∈R,总有-(-x)³+m=-(-x³+m)，即x³+m=x³-m.

∴m=0.