Question

已知函数f(x)=a-

1

2x+1

．
（1）用定义证明函数f（x）在R上为增函数；
（2）若函数f（x）为奇函数，求函数f（x）在x∈[-2，1]的值域．

Answer 1

分析：（1）利用函数单调性的定义进行证明．
（2）利用函数的奇偶性得f（0）=0，解得a的值，然后利用函数的单调性求函数的值域．

解答：解：（1）设x₁＜x₂，
则f(x1)-f(x2)=

1

2x2+1

-

1

2x1+1

=

2x1-2x2

(2x1+1)(2x2+1)

＜0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在R上是增函数．
（2）∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（0）=0，即f（0）=a-

1

2

=0，解得a=

1

2

∴f(x)=

1

2

-

1

2x+1

．
由（1）知，f（x）在[-2，1]上是增函数，
且f(-2)=-

3

10

，f(1)=

1

6

∴函数f（x）在x∈[-2，1]的值域为[-

3

10

，

1

6

]．

点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，要求熟练掌握函数奇偶性的性质和单调性的定义．