题目内容
（2012•桂林模拟）在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知2acosA=ccosB+bcosC．
（1）求A的大小；
（2）求cosB+cosC的取值范围．
（1）求A的大小；
（2）求cosB+cosC的取值范围．
分析：（1）根据正弦定理与两角和的正弦公式，将已知等式化简，得2sinAcosA=sin（B+C），结合三角形内角和定理与诱导公式，得2cosA-1=0，所以A=
；
（2）因为A=
，结合B是锐角△ABC的内角，可得B∈(
，
)．再将cosB+cosC化简整理为sin（B+
），结合三角函数的图象与性质，不难得到cosB+cosC的取值范围．
| π |
| 3 |
（2）因为A=
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
解答：解：（1）∵2acosA=ccosB+bcosC
∴由正弦定理，得2sinAcosA=sinCcosB+sinBcosC=sin（B+C）
∵△ABC中，B+C=π-A，∴2sinAcosA=sinA，得sinA（2cosA-1）=0
∵A∈（0，π），得sinA＞0，∴2cosA-1=0，得cosA=
，得A=
（2）∵B+C=π-A=
，得C=
-B，
∴cosB+cosC=cosB+cos（
-B）=cosB+cos
cosB+sin
sinB=
cosB+
sinB=sin（B+
）
∵B是锐角△ABC的内角，可得B∈(
，
)
∴B+
∈(
，
)，可得sin（B+
）的最小值大于sin
=
当B=
时，sin（B+
）有最大值为1
由此可得，cosB+cosC的取值范围是（
，1]．
∴由正弦定理，得2sinAcosA=sinCcosB+sinBcosC=sin（B+C）
∵△ABC中，B+C=π-A，∴2sinAcosA=sinA，得sinA（2cosA-1）=0
∵A∈（0，π），得sinA＞0，∴2cosA-1=0，得cosA=
| 1 |
| 2 |
| π |
| 3 |
（2）∵B+C=π-A=
| 2π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
∴cosB+cosC=cosB+cos（
| 2π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| π |
| 6 |
∵B是锐角△ABC的内角，可得B∈(
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
∴B+
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
| ||
| 2 |
当B=
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
由此可得，cosB+cosC的取值范围是（
| ||
| 2 |
点评：本题在锐角△ABC中，求两个角余弦和的取值范围．着重考查了正弦定理、两角和的正弦公式和三角函数的图象与性质等知识，属于基础题．
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