Question

已知函数, 其中且

（Ⅰ）讨论函数的单调性；

（Ⅱ）设函数 （e是自然对数的底数），是否存在a，使g(x)在[a,-a]上是减函数？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由.

Answer 1

（Ⅰ）的定义域为，

（1）若-1<a<0,则当0<x<-a时，；当-a <x<1时，；当x>1时，.故分别在上单调递增，在上单调递减.

（2）若a<-1,仿（1）可得分别在上单调递增，在上单调递减.

 （Ⅱ）存在a，使g(x)在[a,-a]上是减函数.

事实上，设，则

，再设，则当g(x)在[a,-a]上单调递减时，h(x)必在[a,0]上单调递,所以，由于，因此，而，所以，此时，显然有g(x)在[a,-a]上为减函数，当且仅当在[1,-a]上为减函数，h(x)在[a,1上为减函数,且，由（Ⅰ）知，当a<-2时，在上为减函数 ①

又    ②

不难知道，

因，令，则x=a或x=-2,而

于是 （1）当a<-2时，若a <x<-2,则，若-2 <x<1,则,因而分别在上单调递增，在上单调递减；

     （2）当a＝-2时， ,在上单调递减.

综合（1）（2）知，当时，在上的最大值为，所以，    ③

又对，只有当a=-2时在x=-2取得，亦即只有当a=-2时在x=-2取得.

因此，当时，h(x)在[a,1上为减函数，从而由①，②，③知

综上所述，存在a，使g(x)在[a,-a]上是减函数，且a的取值范围为.