题目内容

已知直线y=3x上一点P的横坐标为a，有两定点A（-1，1）、B（3，3），那么使向量 $数学公式$ 与 $数学公式$ 夹角为钝角的a的取值范围为________．

$\text{[math]}$
分析：由已知中直线y=3x上一点P的横坐标为a，有两定点A（-1，1）、B（3，3），我们分别求出向量 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的坐标，然后根据向量 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 夹角为钝角，其数量积小于0，可以构造关于a的不等式，排除掉使向量 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 反向的a值地，即可得到使向量 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 夹角为钝角的a的取值范围．
解答：∵直线y=3x上一点P的横坐标为a，
∴P点的坐标为（a，3a）
又∵点A（-1，1）、B（3，3），
∴向量 $\text{[math]}$ =（-1-a，1-3a）， $\text{[math]}$ =（3-a，3-3a），
若向量 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 夹角为钝角
则 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =（-1-a）（3-a）+（1-3a）（3-3a）＜0
解得0＜a＜ $\text{[math]}$
又∵当a= $\text{[math]}$ ，向量 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 反向
故使向量 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 夹角为钝角的a的取值范围为 $\text{[math]}$
故答案为： $\text{[math]}$
点评：本题考查的知识点是数量积表示两个向量的夹角，其中根据向量 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 夹角为钝角，其数量积小于0，构造关于a的不等式，是解答本题的关键，但解答过程中易忽略a= $\text{[math]}$ ，向量 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 反向，而错解为 $\text{[math]}$

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