Question

已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），两个焦点分别为Ｆ₁和Ｆ₂，斜率为k的直线l过右焦点F₂且与椭圆交于A、B两点，设l与y轴交点为P，线段PF₂的中点恰为B.

(1)若｜k｜≤，求椭圆C的离心率的取值范围;

(2)若k=,A、B到右准线距离之和为，求椭圆C的方程.

Answer 1

解：(1)设右焦点F₂（c,0）,则l:y=k(x-c).

    令x=0,则y=-ck,

    ∴P（0，-ck）.

    ∵B为F₂P的中点，∴B(,-).

    ∵B在椭圆上，

    ∴+=1.

    ∴k²=·=（-1）（4-e²）

    =+e²-5.

    ∵｜k｜≤，

    ∴+e²-5≤.

    ∴（5e²-4）（e²-5）≤0.

    ∴≤e²＜1.

    ∴≤e＜1．

(2)k=，∴e=.

    ∴=.

    ∴a²=c²，b²=C².

椭圆方程为+=1，

    即x²+5y²=c²．

    直线l方程为y=(x-c),

    B(,-c),右准线为x=c.

    设A（x₀，y₀），则

    （c-x₀）+（c-）=，

    ∴x₀=2c-,

    y₀=（c-）.

    ∵A在椭圆上，

    ∴（2c-）²+5［（c-）］²=c².

    解之,得c=2或c=(不合题意，舍去).

    ∴椭圆方程为x²+5y²=5，即+y²=1．