Question

已知抛物线的焦点为F₂，点F₁与F₂关于坐标原点对称，直线m垂直于轴（垂足为T），与抛物线交于不同的两点P、Q，且.

（Ⅰ）求点T的横坐标；

（Ⅱ）若椭圆C以F₁,F₂为焦点，且F₁,F₂及椭圆短轴的一个端点围成的三角形面积为1.

① 求椭圆C的标准方程；

② 过点F₂作直线l与椭圆C交于A,B两点，设，若的取值范围.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ） ；

（Ⅱ）（ⅰ；（ⅱ）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由题意得，，设，

则，.

由，

得即，①                       3分

又在抛物线上，则，②

联立①、②易得                                      5分

（Ⅱ）（ⅰ）设椭圆的半焦距为，由题意得，

设椭圆的标准方程为，

由，解得                                    6分

从而                                   

故椭圆的标准方程为                             7分

（ⅱ）方法一：

容易验证直线的斜率不为0，设直线的方程为

将直线的方程代入中得：.      8分

设，则由根与系数的关系，

可得：      ⑤

        ⑥                              9分

因为，所以，且.

将⑤式平方除以⑥式，得：

由

所以                             11分

因为，所以，

又，所以，

故

，

令，因为 所以，即，

所以.

而，所以. 

所以.                    14分

方法二：

1）当直线的斜率不存在时，即时，，，

又，所以            8分

2）当直线的斜率存在时，即时，设直线的方程为

由得

设，显然，则由根与系数的关系，

可得：，                    9分

         ⑤

   ⑥

因为，所以，且.

将⑤式平方除以⑥式得：

由得即

故，解得                   10分

因为，所以，

又，

故

       11分

令，因为 所以，即，

所以.

所以                    13分

综上所述：.                     14分

考点：本题主要考查抛物线的几何性质，椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，平面向量的坐标运算。

点评：难题，求椭圆的标准方程，主要运用了椭圆的几何性质，注意明确焦点轴和a,b,c的关系。曲线关系问题，往往通过联立方程组，得到一元二次方程，运用韦达定理。本题解法较多，对学生的复杂式子变形能力要求较高。