Question

（2011•安徽模拟）设函数f(x)=1nx+

1

x-2

+ax(a≥0)
（Ⅰ）当a=0时，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若f(x)在(0，1]上的最大值为

1

2

，求a的值．

Answer 1

分析：（I）对函数求导得：f′(x)=

1

x

-

1

(x-2)2

+a，定义域（0，2）∪（2，+∞）．单调性的处理，通过导数的零点进行穿线判别符号完成．
（II）当x∈(0，1]，f′(x)=

1

x

-

1

(x-2)2

+a＞0为单调递增，f(x)max=f(1)=a-1=

1

2

，由此能能求出a=

3

2

．

解答：解：（I）对函数求导得：f′(x)=

1

x

-

1

(x-2)2

+a，定义域（0，2）∪（2，+∞）…（2分）
单调性的处理，通过导数的零点进行穿线判别符号完成．
当a=0时，令f′(x)=

1

x

-

1

(x-2)2

=0，得

(x-1)(x-4)

x(x-2)2

=0…（4分）

当x∈(0，1)和x∈(4，+∞)，f′(x)＜0为增区间 当x∈(1，2)和x∈(2，4)，f′(x)＜0为减区间．…(6分)

（II）当x∈(0，1]，f′(x)=

1

x

-

1

(x-2)2

+a＞0为单调递增，
∴f(x)max=f(1)=a-1=

1

2

，
∴a=

3

2

．…（12分）

点评：本题考查函数的单调区间的求法和f(x)在(0，1]上的最大值为

1

2

，求a的值．解题时要认真审题，注意导数的性质的灵活运用．