Question

已知函数f（x）=x²-（2a+1）x+alnx．
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调增区间；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[1，e]上的最小值；
（Ⅲ）设g（x）=（1-a）x，若存在x0∈[

1

e

，e]，使得f（x₀）≥g（x₀）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）求出函数的定义域，求出导函数，令导函数大于0，求出x的范围，写出区间形式即得到函数f（x）的单调增区间．
（II）求出导函数，令导函数为0求出根，通过讨论根与区间[1，e]的关系，判断出函数的单调性，求出函数的最小值
（III）将恒成立的不等式变形，分离出a，构造函数，求出函数的单调性，求出最大值令a小于等于最大值即可．

解答：解：f（x）的定义域为x＞0
（I）将a=1代入f（x）得f（x）=）=x²-3x+lnx
所以f′（x）=2x-3+

1

x

=

2x2-3x+1

x

令f′（x）＞0得0＜x＜

1

2

或 x＞1
所以函数的单调增区间(0，

1

2

)，(1，+∞)
（II）f′(x)=2x-(2a+1)+

a

x

=

2x2-(2a+1)x+a

x

令f′（x）=0得 x=

1

2

(舍)或x=a
当a≤1时，在区间[1，e]上，f′（x）＞0
f（x）在区间[1，e]上的单调递增
所以[f（x）]_min=f（1）=-2a；
当1＜a＜e时，f（x）在[1，a]单调递减，在[a，e]上单调递增
所以[f（x）]_min=f（a）=-a²-a+alna；
当a≥e时，f（x）在[1，e]上单调递减
所以[f（x）]_min=f（e）=e²-2ae-e+a．
（III）令x²-（a+2）x+alnx≥0在[

1

e

，e]上有解．
即x²-2x≥a（x-lnx），由于x-lnx在[

1

e

，e]上为正数
∴问题转化为a≤

x2-2x

x-lnx

在[

1

e

，e]上有解
令h（x）=

x2-2x

x-lnx

，下求此函数在[

1

e

，e]的最大值
由于当x＜2时，h（x）为负，下研究h（x）在（2，e）上的单调性，
由于h′（x）=

(x-1)(x+2-2lnx)

(x-lnx)2

＞0成立，所以h（x）=

x2-2x

x-lnx

在（2，e）上是增函数，又h(e) =

e2-2e

e-1

＞0
所以h(x)max=

e2-2e

e-1

故实数a的取值范围为a≤ 

e2-2e

e-1

点评：解决不等式有解问题，常用的方法是分离参数，构造新函数，转化为求函数的最值；解决不等式恒成立问题也是分离参数转化为求函数的最值．