Question

如图，在正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，E、F、G分别为AB、B₁C₁、AA₁的中点，

(1)求证：EF⊥平面GBD；

(2)求异面直线AD₁与EF所成的角．

Answer 1

解法一：(1)取BC的中点H，连结EH，易得EH是EF在平面AC上的射影，

∵BD⊥EH，∴由三垂线定理，得 EF⊥BD.                                

又∵EF在平面AB₁上的射影是B₁E，由△BB₁E∽△ABG，得B₁E⊥BG，∴由三垂线定理，得 EF⊥BG.

∵BG∩BD=B，∴EF⊥平面GBD．                                      

(2)取C₁D₁的中点M，连结EM，易得EM∥AD₁，∴∠EFM就是异面直线AD₁与EF所成的角.                                                                   

∵MF∥BD，∴EF⊥MF.

在Rt△EFM中，由EM=a(a为正方体的棱长)，EF=a，得∠EFM=30°,即异面直线AD₁与EF所成的角为30°．                                            

解法二：(向量法)

(1)以AD为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴建立空间坐标系，不妨设正方体的棱长为2，则D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，E(2，1，0)，F(1，2，2)，G(2,0，1),D₁(0，0，2).

                                                                      

∵·=(2，2，0)·(1，－1，－2)=0，·=(0，－2，1)·(1，－1，－2)=0,

∴⊥，⊥.

又∵BG∩BD=B，∴EF⊥平面GBD．                                    

(2)=(－2，0，2)，=(1，－1，－2),

cos〈,〉=||=，即异面直线AD₁与EF所成的角为30°．