Question

设中心在原点的双曲线与椭圆+y²=1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程是    ．

Answer 1

【答案】分析：欲求双曲线方程，只需求出双曲线中的a，b的值即可，根据双曲线与椭圆+y²=1有公共的焦点，求出椭圆中的c值，也即双曲线中的c值，再求出椭圆中的离心率，因为椭圆与双曲线的离心率互为倒数，所以可得双曲线中离心率，据此求出a值，再利用a，b，c之间的关系式，就可得到双曲线的方程．
解答：解：椭圆+y²=1中c=1
∵中心在原点的双曲线与椭圆+y²=1有公共的焦点
∴双曲线中c=1，
∵椭圆+y²=1的离心率为=，椭圆与双曲线的离心率互为倒数．
∴双曲线的离心率为，
∴双曲线中a=，b²=c²-a²=，b=
∴双曲线的方程为2x²-2y²=1
故答案为2x²-2y²=1．
点评：本题主要考查了椭圆，双曲线的标准方程以及性质的应用．