Question

设数列{a_n}（n=1，2，…）是等差数列，且公差为d，若数列{a_n}中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”．
（Ⅰ）若a₁=4，d=2，求证：该数列是“封闭数列”；
（Ⅱ）试判断数列是否是“封闭数列”，为什么？
（Ⅲ）设S_n是数列{a_n}的前n项和，若公差d=1，a₁＞0，试问：是否存在这样的“封闭数列”，使．若存在，求{a_n}的通项公式；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）求出数列的通项，利用定义验证可得结论；
（II）利用定义，可得a_n=a₁+a₂=-8，即n=，从而可得结论；
（III）确定a₁=p-m-n+1为整数，分类讨论，即可得出结论．
解答：（I）证明：∵a₁=4，d=2，
∴a_n=2n+2，
对任意的m，n∈N₊，有a_m+a_n=2（m+n+1）+2
于是，令p=m+n+1，则有a_p=2p+2∈{a_n}；
（II）解：∵a₁=-5，a₂=-3
∴a₁+a₂=-8，
令a_n=a₁+a₂=-8，∴n=，
∴数列不是封闭数列；
（III）解：由{a_n}是“封闭数列”，得：对任意m，n∈N₊，必存在p∈N₊，使a₁+（n-1）+a₁+（m-1）=a₁+（p-1）成立，于是有a₁=p-m-n+1为整数，
又∵a₁＞0
∴a₁是正整数．
若a₁=1则，所以，不符合题意
若a₁=2，则，所以，
而，
所以符合
若a₁=3，则，所以
综上所述，a₁=2，a_n=n+1，显然，该数列是“封闭数列”．
点评：本题考查新定义，考查数列的通项与求和，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．