Question

已知椭圆的离心率为，右焦点为 （，0）．斜率为1的直线l与椭圆G交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P（-3，2）．
（Ⅰ）求椭圆G的方程；
（Ⅱ）求△PAB的面积．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由椭圆的离心率为，右焦点为 （，0），知，由此能求出椭圆G的方程．
（Ⅱ）设l：y=x+b，代入，得4x²+6bx+3b²-12=0，根据韦达定理，，故y_A+y_B=，由此能求出△PAB的面积．
解答：解：（Ⅰ）∵椭圆的离心率为，右焦点为 （，0），
∴，解得a=2，
∴b==2，
∴椭圆G的方程为．
（Ⅱ）设l：y=x+b，
代入，得4x²+6bx+3b²-12=0，
根据韦达定理，，
∴y_A+y_B=，
设M为AB的中点，则M（-，），AB的中垂线的斜率k=-1，
∴AB的中垂线：x+y+=0，将P（-3，2）代入，得b=2，
∴l：x-y+2=0，根据弦长公式可得AB=3，d=，
∴S_△PAB==．
点评：本题考查椭圆方程和三角形面积的求法，具体涉及到椭圆的简单性质、直线和椭圆的位置关系、根与系数的关系、根的判别式、中垂线方程的求法、弦长公式等基本知识点，解题时要认真审题，注意等价转化思想的灵活运用．