题目内容

如图所示的几何体是由以等边三角形ABC为底面的棱柱被平面DEF所截而得，已知FA⊥
平面ABC，AB=2，AF=2，CE=3，BD=1，O为BC的中点．
（1）求证：AO∥平面DEF；
（2）求证：平面DEF⊥平面BCED；
（3）求平面DEF与平面ABC相交所成锐角二面角的余弦值．

证明：（1）取DE中点G，以BC中点O为原点，OC、OA分别为x、y轴，
建系如图空间坐标系，则可得
A（0， $\text{[math]}$ ，0）、B（-1，0，0）、C（1，0，0）、
D（-1，0，1），E（1，0，3）、F（0， $\text{[math]}$ ，2）、G（0，0，2），
∴ $\text{[math]}$ =（2，0，2）， $\text{[math]}$ =（1， $\text{[math]}$ ，1）．
设平面DEF的一法向量 $\text{[math]}$ =（x，y，z），
则 $\text{[math]}$ 即 $\text{[math]}$ ，取x=1，则y=0，z=-1，
可得 $\text{[math]}$ =（1，0，-1），
∵ $\text{[math]}$ =（0， $\text{[math]}$ ，0）， $\text{[math]}$ =0，
∴ $\text{[math]}$ ⊥ $\text{[math]}$ ．又OA?平面DEF，
∴OA∥平面DEF．
（2）因为直线AO是平面BCDE的一条垂线，
∴平面BCED的一法向量为 $\text{[math]}$ =（0， $\text{[math]}$ ，0），
∵ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =0，平面BCED的法向量与平面DEF的法向量互相垂直
∴平面DEF⊥平面BCED
（3）由（1）知平面DEF的一个法向量 $\text{[math]}$ =（1，0，-1），
平面ABC即xoy坐标平面，可得它的一个法向量 $\text{[math]}$ =（0，0，1），
∵ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =-1， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ =1
∴cos＜ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ＞= $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$
∴求平面DEF与平面ABC相交所成锐角二面角的余弦值为|cos＜ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ＞|= $\text{[math]}$ ．
分析：（1）取DE中点G，以BC中点O为原点，OC、OA分别为x、y轴，建系如图空间坐标系，则得出A、B、C、D、E、F、G各点的坐标，则有 $\text{[math]}$ =（2，0，2）， $\text{[math]}$ =（1， $\text{[math]}$ ，1）．然后用数量积为0的方法，得到平面DEF的一个法向量为 $\text{[math]}$ =（1，0，-1），从而有 $\text{[math]}$ =0，证出OA∥平面DEF；
（2）平面BCED的一法向量为 $\text{[math]}$ =（0， $\text{[math]}$ ，0），可算出 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =0，平面BCED的法向量与平面DEF的法向量互相垂直，从而得到平面DEF⊥平面BCED；
（3）平面DEF的一个法向量 $\text{[math]}$ =（1，0，-1），平面ABC的一个法向量 $\text{[math]}$ =（0，0，1），利用向量数量的坐标公式，可得cos＜ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ＞= $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ ，从而得到平面DEF与平面ABC相交所成锐角二面角的余弦值 $\text{[math]}$ ．
点评：本题利用空间坐标的方法证明了线面平行、面面垂直，并且计算了两个平面所成的锐二面角的余弦值，着重考查了用空间向量解决立体几何中平面间的夹角和平行垂直的证明有关知识点，属于基础题．