题目内容
如图，已知焦点在
轴上的椭圆
经过点
，直线
交椭圆于
不同的两点．
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）求实数
的取值范围；
（3）是否存在实数，使△
是以
为直角的直角三角形，若存在，求出的值，若不存，请说明理由．
（1）
（2）
（3）见解析
解析试题分析：（1）设出椭圆方程的标准形式，由离心率的值及椭圆过点（4，1）求出待定系数，得到椭圆的标准方程．
（2）把直线方程代入椭圆的方程，由判别式大于0，求出m的范围即可；
（3）对于存在性问题，可先假设存在，即假设存在实数m满足题意，再利用△ABM为直角三角形，结合向量垂直的条件求出m，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．
试题解析：解：（1）依题意
，解得
， 2分
所以椭圆的标准方程是． 3分
（2）由
得
， 4分
直线
与椭圆有两个不同的交点，
6分
解得 7分
（3）假设存在实数满足题意，则由为直角得
， 8分
设
，
，由（2）得
，
9分
，
10分
，
11分
12分
得
13分
因为
，
综上所述，存在实数
使△
为直角三角形． 14分
考点：1.直线与圆锥曲线的综合问题；2.椭圆的标准方程．
练习册系列答案
相关题目
：
（
）的右焦点为
，且椭圆
．
的直线
与椭圆
、
，以线段
为底边作等腰三角形
，其中顶点
的坐标为
，求△
是椭圆
上两点，点
的坐标为
.
关于点
对称时，求证：
；
经过点
时，求证：
不可能为等边三角形.
上的任意一点
到该抛物线焦点的距离比该点到
轴的距离多1．
的值；
（2，0）且互相垂直的两条直线
、
分别与该抛物线分别交于
、
、
、
四点．
面积的最小值；
、
的中点分别为
、
两点，试问：直线
是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．
经过点
，离心率为
．
的方程；
与椭圆
两点，点
是椭圆
与直线
分别与
轴交于点
，试问以线段
为直径的圆是否过
轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．
的焦点在
轴上，离心率为
，对称轴为坐标轴，且经过点
．
的方程；
与椭圆
相交于
、
两点， 
为原点，在
、
点的点
、
，使得
在以
为直径的圆外，求直线斜率
的取值范围．
，椭圆
以
的长轴为短轴，且与
为坐标原点，点
、
分别在椭圆
，求直线
的方程.
＝1(a＞b＞0)的左、右顶点与上顶点，直线A2B与圆C：x2＋y2＝1相切．
＝1；
，求椭圆E的方程；
·
＝0，试判断直线l与圆C的位置关系，并说明理由．
，经过椭圆
的右焦点F及上顶点B，过圆外一点
倾斜角为
的直线
交椭圆于C，D两点，