Question

已知函数f（x）=2lnx-x²（x＞0）．
（1）求函数f（x）的单调区间与最值；
（2）若方程2lnx+mx-x³=0在区间[

1

e

，e]内有两个不相等的实根，求实数m的取值范围；
（其中e为自然对数的底数）

Answer 1

分析：（1）求导函数，利用导数的正负，可得和的单调区间，从而可求函数的最值．
（2）方程2xlnx+mx-x³=0化为-m=2lnx-x²，由f（x）在区间[

1

e

，e]上的最大值为-1，f（

1

e

）=-2-

1

e2

，f（e）=2-e²，f（e）＜f（

1

e

）．知f（x）在区间[

1

e

，e]上的最小值为-2-

1

e2

．由此能求出实数m的取值范围．

解答：解：（1）求导函数可得f′（x）=

2(1-x)(1+x)

x

（x＞0）
∵x＞0，∴令f′（x）＞0，可得0＜x＜1；令f′（x）＜0，可得x＞1，
∴函数的单调增区间为（0，1），单调减区间为（1，+∞）；
当x=1时，函数取得极大值，且为最大值，最大值为-1，无最小值．
（2）方程2xlnx+mx-x³=0化为-m=2lnx-x²，由（1）知，f（x）在区间[

1

e

，e]上的最大值为-1，f（

1

e

）=-2-

1

e2

，f（e）=2-e²，f（e）＜f（

1

e

）．
∴f（x）在区间[

1

e

，e]上的最小值为-2-

1

e2

．
故-m=2lnx-x²在区间[

1

e

，e]上有两个不等实根需满足-2-

1

e2

≤-m＜-1，
∴1＜m≤2+

1

e2

，
∴实数m的取值范围为（1，2+

1

e2

]．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值、函数的零点与方程根的关系，正确求导是关键，属于中档题．