题目内容

在平面直角坐标系中，已知A（-2，0），B（2，0），P为平面内一动点，直线PA，PB的斜率之积为- $数学公式$ ，记动点P的轨迹为C．
（1）求曲线C的轨迹方程；
（2）若点D（0，2），点M，N是曲线C上的两个动点，且 $数学公式$ ，求实数λ的取值范围．

解：（1）设P（x，y 0，由题意可得， $\text{[math]}$ ，y≠0
整理可得点P得轨迹方程为 $\text{[math]}$ （y≠0）
（2）设过点D（0，2）得直线方程为y=kx+2
联立方程 $\text{[math]}$ 整理可得（1+4k²）x²+16kx+12=0
设M（x₁，y₁）N（x₂，y₂）
则△=（16k）²-4×（1+4k²）×12≥0? $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
且 $\text{[math]}$
设M（x₁，y₁）N（x₂，y₂）
则△=（16k）²-4×（1+4k²）×12≥0? $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （*）
由 $\text{[math]}$ 可得，x₁=λx₂代入到（*）式整理可得 $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ 可得 $\text{[math]}$ ，解可得 $\text{[math]}$ 且λ≠1
又因为直线MN过点（2，0），（-2，0），时 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
所以可得， $\text{[math]}$
分析：（1）设P（x，y ）由题意可得， $\text{[math]}$ ，y≠0，整理可得点P得轨迹方程
（2）设过点D（0，2）得直线方程为y=kx+2
联立方程 $\text{[math]}$ 整理可得（1+4k²）x²+16kx+12=0，设M（x₁，y₁）N（x₂，y₂）
则△=（16k）²-4×（1+4k²）×12≥0可得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （*）
由 $\text{[math]}$ 可得，x₁=λx₂代入到（*）式整理可得 $\text{[math]}$ 从而可求
点评：本题主要考查了曲线方程的求解，直线与曲线方程得相交关系的应用，解题得关键是根据已知转化k与λ之间得关系，解（1）时容易漏掉y≠0得限制条件．