Question

已知曲线y=

2

ex+1

，则曲线的切线斜率取得最小值时的切线被圆C：x²+y²=4截得的弦长等于（　　）

• A．

  4 5

  5

• B．

  2 5

  5

• C．

  8 5

  5

• D．

  6 5

  5

Answer 1

分析：由求导公式和法则求出导数并化简，再由e^x＞0和基本不等式，求出导数的最小值和切点坐标，代入点斜式方程并化为一般式，由点到直线的距离公式求出圆心到切线的距离，再代入弦长公式求出即可．

解答：解：由题意得，y′=

-2(ex+1)′

(ex+1)2

=

-2ex

(ex+1)2

=

-2

ex+ 1 ex +2

，
∵e^x＞0，∴ex+

1

ex

≥2

ex× 1 ex

=2，当且仅当ex=

1

ex

时取等号，此时x=0，
∴ex+

1

ex

+2≥4，则y′=

-2

ex+ 1 ex +2

≥-

1

2

，当x=0时取等号，
∴当x=0时，曲线的切线斜率取最小值-

1

2

，则切点的坐标（0，1），
∴切线的方程是：y-1=-

1

2

（x-0），即x+2y-2=0，
圆C：x²+y²=4的圆心（0，0）到切线的距离是

|-2|

1+4

=

2 5

5

，
∴切线被圆C：x²+y²=4截得的弦长为2×

22-( 2 5 5 )2

=

8 5

5

，
故选C．

点评：本题考查了导数的几何意义，基本不等式求最值问题，点到直线的距离公式和弦长公式等，考查了的知识点多，但是难度不大，需要熟练掌握公式并会运用．