Question

设f（n）是一次函数，f（8）=15且f（2），f（5），f（4）成等比数列，求

lim

n→∞

f(1)+f(2)+…f(n)

n2

的值．

Answer 1

分析：设f（n）=kn+b，则由条件可解得f（n）=4n-17，求出f（1）+f（2）+…+f（n）的值，代入要求的式子，利用
数列极限的运算法则求出结果．

解答：解：设f（n）=kn+b，则由题意可得8k+b=15，（5k+b）²=（2k+b）（4k+b），
解得  k=4，b=-17，即f（n）=4n-17．
故当n为自然数时，数列{f（n）}为等差数列，且首项为-13，公差等于4．
故f（1）+f（2）+…+f（n）=

n(-13+4n-17)

2

=

n(4n-30)

2

．
∴

lim

n→∞

f(1)+f(2)+…f(n)

n2

=

lim

n→∞

4-  30 n

2

=2．

点评：本题考查等比数列的定义和性质，等差数列的前n项和公式，数列极限的运算法则的应用，求出f（n）=4n-17，是
解题的关键．