Question

如图所示，有一块半径长为1米的半圆形钢板，现要从中截取一个内接等腰梯形部件，设梯形部件的面积为平方米.

（1）按下列要求写出函数关系式：

①设(米)，将表示成的函数关系式；②设，将表示成的函数关系式.

（2）求梯形部件面积的最大值．

Answer 1

（1）①，②；（2）的最大值是.

【解析】

试题分析：（1）①利用等腰梯形的性质结合勾股定理可以将等腰梯形的腰用含的代数式表示出来，从而可得与的函数关系式：，②：仿照（1）中的作法，将相关线段长度用含的代数式表示出来即可：；（2）根据（1）可得，问题等价于求（1）中所得的函数解析式的最大值，选择②中求得的函数解析式，考虑利用导数判断其单调性来求其最值：

，

令，得，即，(舍)，

∴当时， ，∴函数在上单调递增，当时，，∴函数在上单调递减 ， ∴当时，.

试题解析：（1）①∵，∴，，

∴， 4分

②∵，∴，

∴， 8分

（说明：若函数的定义域漏写或错误，则一个扣1分）

（2），

10分

令，得，即，(舍)， 12分

∴当时， ，∴函数在上单调递增，当时，，∴函数在上单调递减 ， 14分 ∴当时，， 16分

答：梯形部件面积的最大值为平方米．

考点：1.三角函数的运用；2.三角函数求最值.