题目内容

设A为椭圆 $数学公式$ （a＞b＞0）上一点，点A关于原点的对称点为B，F为椭圆的右焦点，且AF⊥BF，设∠ABF=θ．
（1）|AB|=；
（2）若θ∈[ $数学公式$ ， $数学公式$ ]，则该椭圆离心率的取值范围为．

解：（1）设A（x，y），B（-x，-y），F（c，0）
$\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
∵AF⊥BF，
∴ $\text{[math]}$ =c²-x²-y²=0
∴x²+y²=c²=a²-b²
∴|AB|=2|AO|= $\text{[math]}$
（2）∵B和A关于原点对称
∴B也在椭圆上
设左焦点为F′
根据椭圆定义：|AF|+|AF′|=2a
又∵|BF|=|AF′|∴|AF|+|BF|=2a …①
O是Rt△ABF的斜边中点，∴|AB|=2c
又|AF|=2csinα …②
|BF|=2ccosα …③
②③代入①2csinα+2ccosα=2a
∴e= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∵a∈[ $\text{[math]}$ π， $\text{[math]}$ π]
∴ $\text{[math]}$ π≤α+ $\text{[math]}$ π≤ $\text{[math]}$ π
∴ $\text{[math]}$ ≤sin（α+ $\text{[math]}$ π ）≤1
∴ $\text{[math]}$
故答案为：2 $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$
分析：（1）设A（x，y），B（-x，-y），F（c，0），由AF⊥BF，可得 $\text{[math]}$ =0，从而可得x²+y²=c²=a²-b²，|AB|=2|AO|，代入可求
（2）设左焦点为F′，根据椭圆定义：|AF|+|AF′|=2a，根据B和A关于原点对称可知|BF|=|AF′|，推知|AF|+|BF|=2a，又根据O是Rt△ABF的斜边中点可知|AB|=2c，在Rt△ABF中用α和c分别表示出|AF|和|BF|代入|AF|+|BF|=2a中即可表示出 $\text{[math]}$ 即离心率e，进而根据α的范围确定e的范围．
点评：本题主要考查了椭圆的性质的应用，向量的基本运算性质及三角函数的性质的综合应用，解题时要特别利用好椭圆的定义．