Question

（本小题满分12分）如图，在三棱柱中，⊥，⊥，，为的中点，且⊥.

(1)求证：⊥平面；(2)求三棱锥的体积.

 

Answer 1

【答案】

解：(1)见解析；(2) ＝·CD

＝A₁B₁×B₁B×CD＝×2×2×＝.

【解析】本题考查线线垂直，线面垂直及多面体的体积的求法技巧，转化思想的应用，考查计算能力

（1）证明CD⊥BB₁，通过BB1⊥AB，AB∩CD=D，即可证明BB1⊥面ABC

（2）所求的体积进行等价转化可以知道几何体的体积．

解：(1)∵AC＝BC，D为AB的中点，∴CD⊥AB，又∵CD⊥DA₁，∴CD⊥平面ABB₁A₁，∴CD⊥BB₁，

又BB₁⊥AB，AB∩CD＝D，∴BB₁⊥平面ABC.……6分

(2)由(1)知CD⊥平面AA₁B₁B，故CD是三棱锥C－A₁B₁D的高，

在Rt△ACB中，AC＝BC＝2，∴AB＝2，CD＝，

又BB₁＝2，∴＝·CD

＝A₁B₁×B₁B×CD＝×2×2×＝.……12分