Question

【题目】定义非零向量的“相伴函数”为（），向量称为函数的“相伴向量”（其中为坐标原点），记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为.

（1）已知（），求证：，并求函数的“相伴向量”模的取值范围；

（2）已知点（）满足，向量的 “相伴函数”在处取得最大值，当点运动时，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】分析：（1）依题意，将可化为 ，即可得证，同时利用向量模的概念可求得，利用正弦函数的性质可求得的取值范围；

（2）由 可求得时取得最大值，其中，为直线OM的斜率，由几何意义知，再利用二倍角的正切可求得的范围.

详解：（1） ，

∴ 的相伴向量，∴ ，

∵ ，

∵ ，∴ ，∴ .

（2）的相伴函数 ，

其中，，

当，即，时取得最大值，

∴ ，

∴ ，

为直线的斜率，又满足，

∴，

∴ ，

∴ .