Question

【题目】已知函数f（x）= x2﹣alnx（a∈R）
（1）若函数f（x）在x=2处的切线方程为y=x+b，求a，b的值；
（2）讨论方程f（x）=0解的个数，并说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：因为： （x＞0），又f（x）在x=2处的切线方程为y=x+b

所以 解得：a=2，b=﹣2ln2

（2）解：当a=0时，f（x）在定义域（0，+∞）上恒大于0，此时方程无解；

当a＜0时， 在（0，+∞）上恒成立，

所以f（x）在定义域（0，+∞）上为增函数．∵ ， ，所以方程有惟一解．

当a＞0时，

因为当 时，f'（x）＞0，f（x）在 内为减函数；

当 时，f（x）在 内为增函数．

所以当 时，有极小值即为最小值

当a∈（0，e）时， ，此方程无解；

当a=e时， ．此方程有惟一解 ．

当a∈（e，+∞）时， ，

因为 且 ，所以方程f（x）=0在区间 上有惟一解，

因为当x＞1时，（x﹣lnx）'＞0，所以x﹣lnx＞1，

所以， ，

因为 ，所以 ，

所以 方程f（x）=0在区间 上有惟一解．

所以方程f（x）=0在区间（e，+∞）上有惟两解．

综上所述：当a∈[0，e）时，方程无解；

当a＜0或a=e时，方程有惟一解；

当a＞e时方程有两解．

【解析】（1）求出导函数，利用f（x）在x=2处的切线方程为y=x+b，列出方程组求解a，b．（2）通过a=0，a＜0，判断方程的解．a＞0，求出函数的导数判断函数的单调性，求出极小值，分析出当a∈[0，e）时，方程无解；当a＜0或a=e时，方程有惟一解；当a＞e时方程有两解．