题目内容

若函数f（x）在定义域D内某区间I上是增函数，且 $数学公式$ 在I上是减函数，则称y=f（x）在I 上是“弱增函数”．已知函数h（x）=x²-（b-1）x+b在（0，1]上是“弱增函数”，则实数b的值为________．

1
分析：由“弱增函数”的定义知h（x）在（0，1）上递增， $\text{[math]}$ 在（0，1）上递减，分别根据二次函数、“对勾函数”的单调性求出b的取值范围，二者取交集即可求得b值．
解答：因为h（x）在（0，1]上是“弱增函数”，所以h（x）在（0，1）上递增， $\text{[math]}$ 在（0，1）上递减．
（1）由h（x）在（0，1）上递增，得 $\text{[math]}$ ≤0，解得b≤1；
（2）由 $\text{[math]}$ =x+ $\text{[math]}$ -（b-1）在（0，1）上递减，得
①若b≤0， $\text{[math]}$ =x+ $\text{[math]}$ -（b-1）在（0，+∞）上递增，不合题意；
②若b＞0，由 $\text{[math]}$ =x+ $\text{[math]}$ -（b-1）在（0，1）上递减，得 $\text{[math]}$ ≥1，解得b≥1，
综上，得b≥1，
由（1）（2），得b=1．
故答案为：1．
点评：本题考查函数的单调性问题，熟练掌握常见函数如：二次函数、“对勾函数”的单调性可以为我们迅速解决问题提供帮助．

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