Question

在数列{

a

n

}中，a₁=2，an+1=an+2n(n∈N*)，
（1）求{

a

n

}的通项公式；
（2）求数列{na_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）利用递推公式，结合累加法，可求{

a

n

}的通项公式；
（2）利用错位相减法，可求数列{na_n}的前n项和S_n．

解答：解：（1）∵an+1=an+2n(n∈N*)，
∴an+1-an=2n，
∵a₁=2，
∴a_n=a₁+（a₂-a₁）+…+（a_n-a_n-1）=2+2+4+…+2^n-1=2ⁿ；
（2）∵na_n=n•2ⁿ，
∴S_n=1•2+2•2²+…+n•2ⁿ，①
∴2S_n=1•2²+2•2³+…+n•2ⁿ⁺¹，②
①-②：-S_n=1•2+1•2²+1•2³+…+1•2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=2•

1-2n

1-2

-n•2ⁿ⁺¹=2（2ⁿ-1）-n•2ⁿ⁺¹，
∴S_n=-2（2ⁿ-1）+n•2ⁿ⁺¹．

点评：本题考查了利用递推公式求数列的通项公式，考查了累加法，考查错位相减法，考查学生的计算能力，属于中档题．