Question

在数列{

a

n

}中

a

1

=1，

a

n+1

=c

a

n

+cn+1(2n+1)(n∈N*)，其中c≠0．
（Ⅰ）求{

a

n

}通项公式；
（Ⅱ）若对一切k∈N^*有

a

2k

＞

a

2k-1

，求c的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由数列{

a

n

}中

a

1

=1，

a

n+1

=c

a

n

+cn+1(2n+1)(n∈N*)，其中c≠0．求得a₁=1，a₂=ca₁+c²•3=3c²+c，a₃=ca₂+c³•5=8c³+c²，由此猜测a_n=（n²-1）cⁿ+c^n-1，进而用数学归纳法证明．
（2）把（1）中求得的a_n代入

a

2k

＞

a

2k-1

，整理得（4k²-1）c²-（4k²-4k-1）c-1＞0，设（4k²-1）c²-（4k²-4k-1）c-1=0的两个根分别表示c_k和c k ′，根据c_k＜

(4k2-4k-1)+4k2+1

2(4k2-1)

=

8k2-4k

8k2-2

＜1，得c≥1；再根据ck′判断出单调递增知ck′≥c1′对一切k∈N^*成立，求得c＜-

1+ 13

6

．最后综合答案可得．

解答：解：（1）∵数列{

a

n

}中

a

1

=1，

a

n+1

=c

a

n

+cn+1(2n+1)(n∈N*)，其中c≠0．
∴a₁=1，
a₂=ca₁+c²•3=（2²-1）c²+c，
a₃=ca₂+c³•5=（3²-1）c³+c²，
由此猜测a_n=（n²-1）cⁿ+c^n-1，
下用数学归纳法证明．
①当n=1时，等式成立；
②假设当n=k时，等式成立，即a_k=（k²-1）c^k+c^k-1，…（6分）
则当n=k+1时，a_k+1=ca_k+c^k+1（2k+1）=c[（k²-1）c^k+c^k-1]+c^k+1（2k+1）
=（k²+2k）c^k+1+c^k=[（k+1）²-1]c^k+1+c^k，…（7分）
综上，a_n=（n²-1）cⁿ+c^n-1对任何n∈N^*都成立．…（8分）
（3）由a_2k＞a_2k-1，得[（2k）²-1]c^2k+c^2k-1＞[（2k-1）²-1]c^2k-1+c^2k-2，…（9分）
因c^2k-2＞0，所以（4k²-1）c²-（4k²-4k-1）c-1＞0．
解此不等式得：对一切k∈N^*，有c＞c_k或c＜c k ′，
其中c_k=

(4k2-4k-1)+ (4k2-4k-1)2+4(4k2-1)

2(4k2-1)

，
ck′=

(4k2-4k-1)- (4k2-4k-1)2+4(4k2-1)

2(4k2-1)

．（10分）
∴

lim

k→∞

ck=1，
又由

(4k2-4k-1)2+4(4k2-1)

＜

(4k2-1)2+4(4k2-1)+4

=4k²+1，
知c_k＜

(4k2-4k-1)+4k2+1

2(4k2-1)

=

8k2-4k

8k2-2

＜1，…（11分）
因此由c＞c_k对一切k∈N^*成立得c≥1．…（12分）
∵ck′=

-2

(4k2-4k-1)+ (4k2-4k-1)2+4(4k2-1)

＜0，
∴cn′单调递增，故cn ′≥c1′对一切k∈N^*成立，
因此由c＜ck′对一切k∈N^*成立得c＜c 1′=-

1+ 13

6

．…（13分）
从而c的取值范围为（-∞，-

1+ 13

6

）∪[1，+∞）．…（14分）．

点评：本题主要考查了数列的递推式、数学归纳法，考查了学生综合运用所学知识和实际的运算能力．考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．