Question

（2012•商丘三模）已知函数f（x）=

3x

a

-2x²+lnx．
（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间[1，2]上为单调递增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）先对函数f（x）进行求导，令导函数等于0求出x的值，再根据导函数的正负判断函数的单调性，进而确定极值．
（II）已知函数f（x）在区间[1，2]上为单调递增函数，即f′（x）≥0在区间[1，2]上恒成立，然后用分离参数求最值即可．

解答：解：（Ⅰ）a=1时，f（x）=3x-2x²+lnx，定义域为（0，+∞）．…（1分）
f′(x)=

1

x

-4x+3=

-4x2+3x+1

x

=

-(4x+1)(x-1)

x

（x＞0），…（3分）
当x∈（0，1），f'（x）＞0，函数f（x）单调递增；．
当x∈（1，+∞），f'（x）＜0，函数f（x）单调递减，…（5分）
∴f（x）有极大值f（1）=1，无极小值．…（6分）
（Ⅱ）f′(x)=

3

a

-4x+

1

x

，…（7分）
∵函数f（x）在区间[1，2]上为单调递增函数，
∴x∈[1，2]时，f′(x)=

3

a

-4x+

1

x

≥0恒成立．
即 

3

a

≥4x-

1

x

在[1，2]恒成立，…（9分）
令h(x)=4x-

1

x

，因函数h（x）在[1，2]上单调递增，
所以

3

a

≥h(2)，即

3

a

≥

15

2

，…（11分）
解得0＜a≤

2

5

，即a的取值范围是(0，

2

5

]．…（12分）

点评：本题考查利用导数研究函数的极值和已知函数单调性求参数的范围，此类问题一般用导数解决，综合性较强．