Question

【题目】在锐角△ABC中，分别为A、B、C所对的边，且

（1）确定角C的大小；

（2）若c＝，求△ABC周长的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）C=60°；（2）（+3，]．

【解析】

（1）利用正弦定理化简已知条件，求得的值，根据三角形是锐角三角形求得的大小.（2）利用正弦定理将转化为角度来表示，求得三角形周长的表达式，利用三角函数求取值范围的方法，求得三角形周长的取值范围.

解:（1）已知a、b、c分别为A、B、C所对的边，

由a＝2csinA，

得sinA＝2sinCsinA，又sinA≠0，则sinC=，

∴C=60°或C=120°,

∵△ABC为锐角三角形，∴C=120°舍去。∴C=60°

（2）∵c=，sinC=

∴由正弦定理得：,

即a=2sinA，b=2sinB，又A+B=π-C=，

即B=-A

∴a+b+c=2（sinA+sinB）+=2 [sinA+sin（-A）]+

=2（sinA+sincosA-cossinA）+

=2（sinAcos+cosAsin）+=2sin（A+）+，

∵△ABC是锐角三角形，

∴＜A＜，

∴＜sin（A+）≤1，

则△ABC周长的取值范围是（+3，]．