Question

【题目】已知函数f（x）=alnx+（x﹣c）|x﹣c|，a＜0，c＞0 （Ⅰ）当 时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设函数f（x）的图象在点P（x1 ， f（x1）），Q（x2 ， f（x2））两处的切线分别为l1 ， l2 ． 若 ，且l1⊥l2 ， 求实数c的最小值．

Answer 1

【答案】解：函数 ，求导数 ，

（Ⅰ）当 时， ，

若 ，则 恒成立，

所以f（x）在 上单调递减；若 ，则 ，

令f'（x）=0，解得 或 （舍），

当 时，f'（x）＜0，f（x）在 上单调递减；

当 时，f'（x）＞0，f（x）在 上单调递增．

所以函数f（x）的单调递减区间是 ，单调递增区间是

（Ⅱ）由l1⊥l2知， ，而 ，则 ，

若 ，则

所以 ，解得 ，不符合题意

故 ，则

整理得 ，由c＞0，a＜0得

令 ，则 ，所以

设 ，当 时，g'（t）＜0，g（t）在 上单调递减；

当 时，g'（t）＞0，g（t）在 上单调递增

所以函数g（t）的最小值为 ，故实数c的最小值为

【解析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）根据垂直关系求出a的范围，令 ，则 ，表示出c，根据函数的单调性求出c的最小值即可．
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性的相关知识点，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减才能正确解答此题．