Question

在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，

m

=（b，

3

a），

n

=（cosB，sinA），且

m

∥

n

．
（Ⅰ）求角B；
（Ⅱ）若b=2

3

，c=2a，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（I）根据向量平行的条件建立关系式，结合正弦定理化简得到sinBsinA=

3

sinAcosB，进而算出sinB=

3

cosB，得tanB=

3

，由此即可得出B=

π

3

．
（II）根据边b与角B的大小，利用余弦定理建立关于a、c的等式，结合题意c=2a联解算出a、c的值，再利用三角形的面积公式加以计算，可得△ABC的面积．

解答：解：（Ⅰ）∵

m

=（b，

3

a），

n

=（cosB，sinA），且

m

∥

n

∴bsinA=

3

acosB，结合正弦定理可得sinBsinA=

3

sinAcosB，
又∵在△ABC中，sinA＞0，
∴两边约去sinA，可得sinB=

3

cosB，得tanB=

3

根据B为三角形的内角，可得B=

π

3

．
（Ⅱ）由余弦定理得b²=a²+c-2accosB，
结合B=

π

3

且b=2

3

，得12=a²+c-ac．
又∵c=2a，∴12=a²+4a²-2a²，
解得a=2，c=4．
因此△ABC的面积S=

1

2

acsinB=2

3

．

点评：本题给出向量含有三角形的边与角的坐标，在向量平行的情况下求角B的大小，并依此求三角形的面积．着重考查了向量平行的坐标表示、利用正余弦定理解三角形和三角形的面积计算等知识，属于中档题．