Question

【题目】已知函数f（x）=xlnx+ax+b在（1，f（1））处的切线为2x﹣2y﹣1=0．
（1）求f（x）的单调区间与最小值；
（2）求证： ．

Answer 1

【答案】
（1）解：f'（x）=1+lnx+a，

故f'（1）=1+a=1，得a=0，又2﹣2f（1）﹣1=0，

所以 ，得 ．

则 ，f'（x）=1+lnx，

当 时，f'（x）≤0，f（x）单调递减；

当 时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，

所以 ．

（2）证明：令g（x）=x﹣sinx，x＞0，g'（x）=1﹣cosx≥0，g（x）递增，

所以g（x）＞g（0）=0，所以当x＞0时，x＞sinx，

令h（x）=ex﹣x﹣1，x＞0，h'（x）=ex﹣1≥0，h（x）递增，

h（x）＞h（0）=0，所以当x＞0时，ex＞x+1，

要证 ，由﹣1≤cosx≤1，x＞sinx，及ex＞x+1，

得， ，故原不等式成立，

只需证 ，

即证x2﹣x+1+xlnx＞0．由（1）可得 ，且 ，

所以 ，则原不等式成立

【解析】（1）求出函数的导数，计算f′（1），f（1）求出a，b的值，求出函数的解析式，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间和最值即可；（2）令g（x）=x﹣sinx，x＞0，得到当x＞0时，x＞sinx，令h（x）=ex﹣x﹣1，x＞0，根据函数的单调性将问题转化为只需证 ，根据函数的单调性证明即可．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用利用导数研究函数的单调性和函数的极值与导数的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值．