Question

已知函数：f（x）=

x+1-a

a-x

（a∈R且x≠a）．
（1）证明：f（x）+f（2a-x）+2=0对定义域内的所有x都成立；
（2）当f（x）的定义域为[a+

1

2

，a+1]时，求证：f（x）的值域为[-3，-2]；
（3）若a＞

1

2

，函数g（x）=x²+|（x-a） f（x）|，求g（x）的最小值．

Answer 1

分析：（1）由于f（x）=

1

a-x

-1，于是可得f（x）+f（2a-x）+2=0，与x取值无关得证；
（2）由定义域为[a+12，a+1]，得-1≤a-x≤-

1

2

，-2≤

1

a-x

≤-1，再由f（x）=

1

a-x

-1即可求解．
（3）根据题意，可得g（x）=x²+|x+1-a|，（x≠a），进而分①x≥a-1且x≠a与②x≤a-1两种情况讨论，由二次函数的性质，分别求出每种情况下f（x）的最小值，综合可得答案．

解答：（1）证明：∵f（x）=

x+1-a

a-x

=

1

a-x

-1，
∴f（2a-x）=

1

a-[2a-x]

-1=-

1

a-x

-1，
∴f（x）+f（2a-x）+2=

1

a-x

+（-

1

a-x

）-2+2=0，与x取值无关．
∴f（x）+f（2a-x）+2=0对定义域内的所有x都成立；
（2）证明：∵f（x）的定义域为[a+

1

2

，a+1]，
∴-1-a≤-x≤-a-

1

2

，-1≤a-x≤-

1

2

，-2≤

1

a-x

≤-1，
又f（x）=

1

a-x

-1，
∴-3≤

1

a-x

-1≤-2，即f（x）的值域为[-3，-2]．
（3）解：函数g（x）=x²+|x+1-a|，（x≠a），
①当x≥a-1且x≠a时，g（x）=x²+x+1-a=（x+

1

2

）²+

3

4

-a，
当a＞

1

2

时，a-1＞-

1

2

，函数在[a-1，+∞）上单调递增，
g（x）_min=g（a-1）=（a-1）²，
②当x≤a-1时，g（x）=x²-x-1+a=（x-

1

2

）²+a-

5

4

，
如果a-1＞

1

2

即a＞

3

2

时，g（x）_min=g（

1

2

）=a-

5

4

，
如果a-1≤

1

2

即a≤

3

2

时，g（x）在（-∞，a-1）上为减函数，g（x）_min=g（a-1）=（a-1）²，
当a＞

3

2

时，（a-1）²-（a-

5

4

）=（a-

3

2

）²＞0，
综合可得，当

1

2

＜a≤

3

2

时，g（x）的最小值是（a-1）²；
当a＞

3

2

时，g（x）的最小值是a-

5

4

．

点评：本题考查函数的最值的求法及其意义，（2）关键在于对f（x）的化简，（3）的关键是根据二次函数的性质，进行分类讨论求g（x）的最值．