Question

一直线L被两直线L₁：2x-y+1=0，L₂：3x-5y-5=0截得的线段的中点恰好是点P（1，2），求：
（1）求点P关于直线L₁对称的点P′
（2）求直线L方程．

Answer 1

分析：（1）设点P′的坐标为（m，n），由垂直、和中点在对称轴上这两个条件，求出m、n的值，即可求得点P′的坐标．
（2）设直线L与直线L₁、L₂分别交于E、F两点，设E点为（a，2a+1），则由线段的中点公式可得F为（2-a，3-2a），将F代入L₂求得a的值，可得F的坐标，
再由两点式求得直线L的方程．

解答：解：（1）设点P′的坐标为（m，n），由

n-2 m-1 ×2=-1 2× m+1 2 - n+2 2 +1=0

  可得

m= 1 5 n= 12 5

，所以P′（

1

5

，

12

5

)．
（2）设直线L与直线L₁、L₂分别交于E、F两点，设E点为（a，2a+1），则由线段的中点公式可得F为（2-a，3-2a），
将F代入L₂得3（2-a）-5（3-2a）-5=0，解得a=2，所以F（0，-1），
根据P、F两点的坐标，利用两点式求得直线L的方程为：

y+1

2+1

=

x-0

1-0

，即 3x-y-1=0．

点评：本题主要考查求一个点关于某直线的对称点的坐标的方法，利用了垂直、和中点在对称轴上这两个条件．还考查了线段的中点公式，利用两点式求得直线的方程，属于中档题．