Question

已知函数f（x）=m+log_ax（a＞0且a≠1）的图象过点（8，2），点P（3，-1）关于直线x=2的对称点Q在f（x）的图象上．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）令g（x）=2f（x）-f（x-1），求g（x）的最小值及取得最小值时x的值．

Answer 1

解析：（Ⅰ）点P（3，-1）关于直线x=2的对称点Q的坐标为Q（1，-1）
结合题设知，可得

f(8)=2 f(1)=-1

，即

m+loga8=2 m+loga1=-1

，
解得m=-1，a=2，故函数解析式为f（x）=-1+log₂x．
（Ⅱ）g（x）=2f（x）-f（x-1）=2（-1+log₂x）-[-1+log₂（x-1）]=log2

x2

x-1

-1（x＞1），
∵

x2

x-1

=

(x-1)2+2(x-1)+1

x-1

=(x-1)+

1

x-1

+2≥2

(x-1)• 1 x-1

+2=4，
当且仅当x-1=

1

x-1

即x=2时，“=”成立，
而函数y=log₂x在（0，+∞）上单调递增，则log2

x2

x-1

-1≥log24-1=1，
故当x=2时，函数g（x）取得最小值1．