Question

已知函数．
（1）求函数f（x）的定义域D，并判断f（x）的奇偶性；
（2）如果当x∈（t，a）时，f（x）的值域是（-∞，1），求a与t的值；
（3）对任意的x₁，x₂∈D，是否存在x₃∈D，使得f（x₁）+f（x₂）=f（x₃），若存在，求出x₃；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）要使原函数有意义，则，解得-1＜x＜1，
所以，函数f（x）的定义域D=（-1，1）
f（x）是定义域内的奇函数．
证明：对任意x∈D，有
所以函数f（x）是奇函数．
另证：对任意x∈D，
所以函数f（x）是奇函数．
（2）由知，函数在（-1，1）上单调递减，
因为0＜a＜1，所以f（x）在（-1，1）上是增函数
又因为x∈（t，a）时，f（x）的值域是（-∞，1），所以（t，a）⊆（-1，1）
且在（t，a）的值域是（a，+∞），
故且t=-1（结合g（x）图象易得t=-1）
由得：a²+a=1-a，解得或a=（舍去）．
所以，t=-1
（3）假设存在x₃∈（-1，1）使得f（x₁）+f（x₂）=f（x₃）
即
则，
解得，
下面证明．
证明：法一、
由．
∵x₁，x₂∈（-1，1），∴，，
∴，即，∴．
所以存在，使得f（x₁）+f（x₂）=f（x₃）．
法二、
要证明，即证，也即．
∵x₁，x₂∈（-1，1），∴，∴，
∴．
所以存在，使得f（x₁）+f（x₂）=f（x₃）．
分析：（1）直接由真数大于0，解分式不等式可得函数的定义域，利用定义判断函数的奇偶性；
（2）给出的函数是对数型的复合函数，经分析可知内层分式函数为减函数，外层对数函数也为减函数，要保证
当x∈（t，a）时，f（x）的值域是（-∞，1），首先应有（t，a）⊆（-1，1），且当x∈（t，a）时，
∈（a，+∞），结合内层函数图象及单调性可得t=-1，且，从而求出a和t的值；
（3）假设存在x₃∈D，使得f（x₁）+f（x₂）=f（x₃），代入对数式后把x₃用x₁，x₂表示，只要能够证明x₃在定义域内即可，证明可用作差法或分析法．
点评：本题考查了函数的定义域及其求法，考查了复合函数的单调性，考查了复合函数的值域，体现了数学转化思想方法，训练了存在性问题的证明方法，该题综合考查了函数的有关性质，属有一定难度的题目．