题目内容

在数列{an}中，已知a1=1，an+1=αan+β（α＞0）且a2=5，a3=17．
（Ⅰ）求an+1与an的关系式；
（Ⅱ）求证：{an+1}是等比数列；
（Ⅲ）求数列{n（an+1）}的前n项和Sn．
（Ⅰ）∵数列{an}满足a1=1，an+1=αan+β（α＞0），a2=5，a3=17，
∴
α+β=5
5α+β=17
解得
α=3
β=2.

∴an+1=3an+2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，an+1=3an+2，∴an+1+1=3（an+1）．
∵a1=1，即an+1≠0，
∴
an+1+1
an+1
=3，
∴{an+1}是首项为2，3为公比的等比数列．
（Ⅲ） 由（Ⅱ）知，an+1=2×3n-1，
∴Sn=1×2+2×2×31+3×2×32+…+n×2×3n-1，
3Sn=1×2×3+2×2×32+3×2×33+…+n×2×3n，
两式相减，得：2Sn=-1×2-2×31-2×32-…-2×3n-1+n×2×3n-1
=-2-2
3-3n
1-3
+2n•3n，
∴Sn=
3n(2n-1)+1
2
．
练习册系列答案
相关题目
在数列{an}中，已知a1=
1
4
，
an+1
an
=
1
4
，bn+2=3log 
1
4
an（n∈N*）．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）求证：数列{bn}是等差数列；
（Ⅲ）设cn=
3
bn•bn+1
，Sn是数列{cn}的前n项和，求使Sn＜
m
20
对所有n∈N*都成立的最小正整数m．
在数列{an}中，已知a1=1，an+1=
an1+2an
(n∈N+)．
（1）求a2，a3，a4，并由此猜想数列{an}的通项公式an的表达式；
（2）用适当的方法证明你的猜想．
在数列{an}中，已知a1=1，a2=2，且an+2等于an•an+1的个位数（n∈N*），若数列{an}的前k项和为2011，则正整数k之值为（　　）
（2012•淮南二模）在数列{an}中，已知an≥1，a1=1，且an+1-an=
2
an+1+an-1
，n∈N+．
（1）记bn=（an-
1
2
）2，n∈N+，求证：数列{bn}是等差数列；
（2）求{an}的通项公式；
（3）对?k∈N+，是否总?m∈N+使得an=k？若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．
在数列{an}中，已知a1=
7
2
，an=3an-1+3n-1（n≥2，n∈N*）．
（Ⅰ）计算a2，a3；
（Ⅱ）求证：{
an-
1
2
3n
}是等差数列；
（Ⅲ）求数列{an}的通项公式an及其前n项和Sn．

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