Question

△ABC中，若cos（2B+C）+2sinAsinB=0，则△ABC形状一定是

直角三角形

．

Answer 1

分析：条件即cos（B+B+C）+2sinAsinB=0，利用两角和的余弦公式、诱导公式化简可得cos（A+B）=0，故A+B=

π

2

，C=

π

2

，
从而得到△ABC形状一定是直角三角形．

解答：解：∵cos（2B+C）+2sinAsinB=0，即 cos（B+B+C）+2sinAsinB=0．
∴cosBcos（B+C）-sinBsin（B+C）+2sinAsinB=0，即 cosBcos（π-A）-sinBsin（π-A）+2sinAsinB=0．
∴-cosBcosA-sinBsinA+2sinAsinB=0，∴-cosBcosA+sinBsinA=0．
即-cos（A+B）=0，即 cos（A+B）=0．
∴A+B=

π

2

，∴C=

π

2

，故△ABC形状一定是直角三角形．
故答案为：直角三角形．

点评：本题考查两角和的余弦公式、诱导公式的应用，求得cos（A+B）=0，是解题的关键，属于中档题．