Question

19．已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）对任意正实数x、y恒有①f（2）=1；②当x＞1时，f（x）＞0；③f（$\frac{x}{y}$）=f（x）-f（y）．
（1）试判断函数f（x）的单调性；       
（2）若f（t）+f（t-3）≤2，试求t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据函数单调性的定义，利用定义法进行判断证明．
（2）根据函数单调性的定义结合抽象函数关系进行转化求解即可．

解答 解：（1）任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂
则$\frac{x_2}{x_1}$＞1，故f（$\frac{x_2}{x_1}$）＞0，即f（x₂）-f（x₁）＞0         （3分）
∴f（x₂）＞f（x₁）
所以f（x）为（0，+∞）上的增函数．                         （5分）
（2）∵f（2）=f（$\frac{4}{2}$）=f（4）-f（2）
∴f（4）=2f（2）=2
从而f（t）+f（t-3）≤f（4）
即f（t）≤f（$\frac{4}{t-3}$），
∵f（x）为（0，+∞）上的增函数，
∴$\left\{\begin{array}{l}{t＞0}\\{t-3＞0}\\{t≤\frac{4}{t-3}}\end{array}\right.$                               （8分）
解得3＜t≤4
故t的取值范围是（3，4]（12分）

点评 本题主要考查抽象函数的应用问题，利用赋值法结合函数单调的定义是解决本题的关键．