Question

11．已知k∈R，$\overrightarrow{AB}$=（k，1），$\overrightarrow{AC}$=（2，4），若|${\overrightarrow{AB}}$|＜$\sqrt{10}$，则△ABC是钝角三角形的概率是（　　）

• A． $\frac{1}{6}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{2}{3}$
• D． $\frac{5}{6}$

Answer 1

分析 根据向量的模和向量的夹角公式，分类讨论求出△ABC是钝角三角形的k的范围，再根据概率公式计算即可．

解答 解：∵|${\overrightarrow{AB}}$|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$＜$\sqrt{10}$，
∴-3＜k＜3，
∵$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$=（2-k，3），
若$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$＜0，即2k+4＜0，解得-3＜k＜-2，
若$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{CB}$＜0，即k（k-2）-1×3＜0，解得-1＜k＜3，
若$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BC}$＜0，即2（2-k）+3×4＜0，解得k＞8舍去，
∴△ABC是钝角三角形的概率P=$\frac{-2+3+3+1}{3-（-3）}$=$\frac{5}{6}$，
故选：D

点评 本题考查了几何概型概率问题，关键求出满足条件的长度，属于中档题．