Question

已知函数f（x）=x³+x．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；
（3）判断函数f（x）的单调性，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据多项式函数的定义域的判定，可知函数f（x）的定义域为R；
（2）根据奇偶性的定义，判断f（-x）与f（x）之间的关系，即可判断函数f（x）的奇偶性；
（3）利用原始的定义进行证明，在（-∞，+∞）上任取x₁，x₂且x₁＜x₂，只要证f（x₂）＞f（x₁）就可以可，把x₁和x₂分别代入函数f （x）=-x³+x进行证明．

解答：解：（1）显然函数f（x）的定义域为R；（2分）
（2）函数f（x）为奇函数．（3分）
因为f（-x）=（-x）³+（-x）=-x³-x=-（x³+x）=-f（x），（6分）
所以f（x）为奇函数．（7分）
（3）函数f（x）在R上是增函数．（8分）
任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=（x₁³+x₁）-（x₂²+x₂）=（x₁-x₂）（x₁²+x₁x₂+x₂²）+（x₁-x₂）=(x1-x2)[(x1+

1

2

x2)2+

3

4

x

2 2

+1]（10分）
由x₁＜x₂，得x₁-x₂＜0，(x1+

1

2

x2)2+

3

4

x

2 2

+1＞0，（11分）
于是f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．（12分）
所以，函数f（x）在R上是增函数．

点评：此题主要考查多项式函数的定义域、奇偶性和单调性，解题的关键是利用定义进行证明，是一道基础题．