Question

已知定点Q（0，5）和圆C：（x+2）²+（y-6）²=4²．
（1）若直线l过Q点且被圆C截得的线段长为4

3

，求直线l的方程；
（2）求过Q点的圆C的弦的中点P的轨迹方程，并指出其轨迹是什么？

Answer 1

（1）1°当直线l斜率不存在时，容易知x=0符合题意；…2
2°当直线l斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+5，交圆于AB两点，取AB中点M，连接CM，则CM⊥AB，
∵|AB|=4

3

，r=4，
∴|CM|=2，…4 
则由|CM|=

|-2k-1|

k2+1

=2得：k=

3

4

，故直线l的方程为3x-4y+5=0，…6
∴直线l的方程为：x=0或3x-4y+5=0；…7
（2）设弦中点P（x，y），由题意得：CP⊥QP，…8
∴

CP

•

QP

=0，而

CP

=（x+2，y-6），

QP

=（x，y-5）…10
∴

CP

•

QP

=x（x+2）+（y-6）（y-5）=0，化简整理得：x²+y²+2x-11y+30=0，…11
∴点P的轨迹方程为：：x²+y²+2x-11y+30=0，（（x+2）²+（y-6）²＜16）…13
∴点P的轨迹是以为（-1，

11

2

）为圆心，

5

2

为半径的圆，在圆（x+2）²+（y-6）²=16的内部的一段弧…14